Đề bài
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức \(A = \sqrt 2 .\sqrt 8 + \sqrt 9 – \sqrt {27} \)
b) Trục căn ở mẫu và rút gọn biểu thức \(B = \frac{1}{{2 – \sqrt 3 }} + \frac{2}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}\)
Câu 2. (2.0 điểm)
Cho biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 2}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} – \frac{{x + 3\sqrt x }}{{x – 4}}\) với x ≥ 0 và x ≠ 4
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị biểu thức P khi \({\rm{x}} = 4\sqrt {3 + 2\sqrt 2 } \).
c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Câu 3. (2,5 điểm)
Cho các hàm số y = x + 1 (d1) và y = 2x + 4 (d2).
a) Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm A của các đường thẳng (d1) và (d2).
c) Tính diện tích tam giác OAB, với điểm B(-1;-4) và O là gốc toạ độ.
Câu 4. (1.0 điểm)
Một chiếc máy bay bay lên từ A đến B với vận tốc 600 km/h. Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc 20° (xem hình vẽ). Hỏi sau bao nhiêu phút thì máy bay đạt độ cao 10 km theo phương thẳng đứng? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Câu 5. (2.5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp trong đường tròn (O), có AB = 8cm và BC = I0cm. Gọi E là trung điểm của cạnh AB. Tiếp tuyến với (O) tại A cắt đường thắng OE tại điểm D.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng OE và OD.
b) Chứng minh rằng DB là tiếp tuyến của (O).
e) Một đường tròn có tâm I nằm trên đoạn thăng BC, tiếp xúc với AB và AC lần lượt tại H và K. Tính diện tích tứ giác AHIK.
Đáp án
Câu 1
a) Tính được \(\sqrt 9 = 3;\sqrt[3]{{27}} = 3\)
Tính được \(\sqrt 2 .\sqrt 8 = 4\)
Kết luận A = 4
b) Tính được \(\frac{1}{{2 – \sqrt 3 }} = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{{(2 – \sqrt 3 )(2 + \sqrt {3)} }} = 2 + \sqrt 3 \)
Tính được \(\frac{2}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }} = \frac{{2(\sqrt 5 – \sqrt 3 )}}{{(\sqrt 5 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 – \sqrt 3 )}} = \sqrt 5 – \sqrt 3 \)
Kết luận \(B = 2 + \sqrt 5 \)
Câu 2
a) Ta có \(\frac{1}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x – 2}}{{(\sqrt x – 2)(\sqrt x + 2)}}\)
\( \Rightarrow P = \frac{{\sqrt x (\sqrt x + 2)}}{{(\sqrt x – 2)(\sqrt x + 2)}} + \frac{{\sqrt x – 2}}{{(\sqrt x – 2)(\sqrt x + 2)}} – \frac{{x + 3\sqrt x }}{{x – 4}}\)
\( = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{x – 4}} + \frac{{\sqrt x – 2}}{{x – 4}} – \frac{{x + 3\sqrt x }}{{x – 4}}\)
\( \Rightarrow P = – \frac{2}{{x – 4}}\)
b) Ta có \({\rm{x}} = 4\sqrt {3 + 2\sqrt 2 } = 4\sqrt {{{(\sqrt 2 + 1)}^2}} = 4\sqrt 2 + 4\)
c) Với x > 0, x ≠ 4 và x là số nguyên thì x—4 là số nguyên, để P nhận giá trị nguyên thì x – 4 là ước của 2.
Suy ra x – 4 ϵ {-1;1;-2;2}.
Từ đó có các giá trị của x là 3;5;2;6, các giá trị này đều thoả mãn điều kiện.
Câu 3
a) Lấy được 2 điểm của đồ thị hàm số y = -x + 1 và vẽ đúng
Lấy được 2 điểm của đồ thị hàm số y = 2x + 4 và vẽ đúng
b) Phương trình hoành độ giao điểm –x + 1 = 2x + 4
→ x = -1 → A(-1;2).
c) Tính được độ dài đoạn AB = 6.
Tính được chiều cao xuất phát từ O bằng 1 và tích tam giác OAB bằng 3.
Câu 4
Gọi điểm C như hình minh họa. Tam giác ABC vuông tại C có \(\sin \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}}\)
Suy ra \(AB = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{10}}{{\sin {{20}^o}}} \approx 29,238(km)\)
Đặt x (giờ) là thời gian máy bay bay từ A đến B. Điều kiện x > 0, ta có 29,238 = 600 → x = 0,04873 giờ, tức là 2,9238 phút.
Câu 5
a) Tính độ dài các đoạn thẳng OE và OD
Tam giác ABC vuông tại A có OE là đường trung bình \(OE \bot {\rm{A}}B\)
Tính được EA = 4 (cm) và OC = OA = 5 (cm).
Trong tam giác vuông OEA, có \(OE = \sqrt {O{A^2} – E{{\rm{A}}^2}} = 3(cm)\)
Trong tam giác vuông ODA, có OE.OD = OA2
Suy ra \(O{\rm{D}} = \frac{{25}}{3}(cm)\).
b) Ta có \(OD \bot {\rm{A}}B\)tại trung điểm của AB nên OD là đường trung trực của đoạn AB.
Suy ra DB = DA.
Chứng minh được ∆ODB = ∆ODA (c-c-c) → \(\widehat {OB{\rm{D}}} = {90^o}\)
c) Lập luận được IH = IK, kết hợp tứ giác AHIK có ba góc vuông nên là hình vuông.
Đặt AH = x cm (0< x <4) thì BH = 8 – x và IH = x
∆BHI đồng dạng ∆BAC (g-g) \( \Rightarrow \frac{{BH}}{{BA}} = \frac{{HI}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{8 – x}}{8} = \frac{x}{{\sqrt {{{10}^2} – {8^2}} }} \Rightarrow 6(8 – x) = 8{\rm{x}}\)
\( \Rightarrow x = \frac{{24}}{7}(cm)\)
Vậy diện tích tứ giác AHIK là \({x^2} = \frac{{576}}{{49}}(c{m^2})\)